Розділи

загрузка...
11. СКЛАДНІ ВІДСОТКИ ; 11.1. Нарахування складних річних відсотків; Фінансова статистика - Шустіков А.А.

11. СКЛАДНІ ВІДСОТКИ

11.1. Нарахування складних річних відсотків

У довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються відразу після їх нарахування, а приєднуються до суми боргу, для нарощення суми позички застосовуються складні відсотки. База для їх нарахування не залишається постійною; вона збільшується з кожним кроком у часі на величину приєднаних відсотків, нарахованих у попередньому періоді, а процес зростання початкової суми позички прискорюється.

Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка була базою для їх визначення, називають капіталізацією відсотків.

Якщо відсотки нараховуються один раз наприкінці року, то в кінці першого року нарощена сума дорівнює Р + Р • і, в кінці другого року — Р (1 + і) + Р (1 + і) і = Р (1 + і)2, до кінця третього року — Р (1 + і)3. Цей ряд являє собою геометричну прогресію Р, Р (1 + і), Р (1 + і)2, Р (1 + і)3, … , перший член якої дорівнює початковій величині позички Р, а знаменник — (1 + і).

Нарощена сума — це член геометричної прогресії у відповідному році нарощення. Для n-го року нарощення член геометричної прогресії матиме вигляд Р (1 + і)n, який відповідає нарощеній сумі наприкінці строку позички.

Отже, нарахування складних відсотків здійснюється за такою формулою:

нарахування складних відсотків ,

де S — нарощена сума платежу (боргу), P — початкова сума боргу, i — складна відсоткова ставка, n — число періодів нарахування відсотків.

Величину (1 + і)n називають множником нарощення. Значення множника нарощення для цілих чисел n і і наведено в додатку 1.

Приклад 1. Кредит надано в сумі 1000 грн. на 5 років за складною ставкою відсотків 10 % річних. Визначити, яку суму повинен повернути боржник наприкінці строку позички.

Розв’язання: S = P (1 + i)n = 1000 (1 + 0,1)5 = 1610,5 грн.

Якщо передбачаються зміни у часі, але застосовуються фіксовані (змінні) ставки відсотків, то формула нарощення за складними відсотками матиме такий вигляд:

S = P (1 + i1)n1(1 + i2)n2… (1 + ik)nk,

де i1, i2,..., ik — послідовні значення ставок відсотків; n1, n2,...,nk — періоди, протягом яких здійснюється нарахування за відповідними ставками.

Приклад 2.Відсоткова ставка за позичкою визначена на рівні 8,5 % плюс надбавка 0,5 відсоткових пункта в перші два роки і 0,75 відсоткових пункта — у наступні три роки.

Розв’язання: Множник нарощення у даному разі буде 1,0921,09253 = = 1,549.

Швидкість зростання за складними і простими відсотками

Використання у фінансових розрахунках простих і складних відсотків дає неоднакові результати, відмінність між якими зумовлена строками позичок. Співвідношення значень множників нарощення дає можливість порівняти процеси нарощення за різними ставками відсотків, але при абсолютно однакових величинах.

Процес нарощення боргу за складною ставкою відсотків відбувається швидше, ніж за простою ставкою відсотків, коли строк нарахування перевищує рік (n > 1). Якщо строк користування грошима n ? 1, то прості відсотки дають більший результат. Це випливає також з математичного доведення нерівностей: якщо n > 1, то 1 + inn < (1 + ic)n; n = 1, то 1 + inn = (1 + ic)n; якщо n < 1, то 1 + inn > (1 + ic)n. При цьому слід враховувати однакову базу року у розрахунках.

Графічно процеси нарощення за складними та простими відсотками зображено на рис. 11.1.

Процеси нарощення за складними  та простими відсотками Рис. 11.1. Процеси нарощення за складними та простими відсотками

Криві нарощення за простими та складними відсотками перетинаються в точці, де строк позички дорівнює одному року або одному періоду нарахування відсотків, тобто n = 1 1 + inn = (1 + ic)n. Порівнюючи процеси нарощення за складними та простими ставками відсотків можна дійти висновку, що прості відсотки кредитору вигідно застосовувати при наданні короткострокових позичок, а складні — при наданні довгострокових.

Формули подвоєння

Іноді виникає ситуація, коли ми маємо певну суму грошей, але потрібна в майбутньому сума грошей в n разів більша. Необхідно визначити, за скільки років (періодів) початкова сума збільшиться у n разів, якщо відома величина банківського відсотка та умови інвестування грошей. Для того, щоб розв’язати цю задачу, використовують так звані формули подвоєння, які допомагають визначати кількість років, за які початкова сума позички збільшиться у 2 (або в n) разів.

Загальний випадок, коли необхідно визначити число років, протягом яких початкова сума збільшиться в n разів:

а) для простих відсотків (1 + nin) = N б) для складних відсотків (1 + ic)n = N .

N = 2;

а) подвоєння за простими відсотками:

подвоєння за простими відсотками б) подвоєння за складними відсотками:

подвоєння за складними відсотками.

Нарахування відсотків при дрібному числі років

У випадках, коли n не є цілим числом, тобто складається з цілої й дробової частин, нарощення визначається двома способами: за формулою нарощення складних відсотків і на основі змішаного методу, згідно з яким за ціле число років нараховуються складні відсотки, а за дробове — прості:

S = P (1 + i)a(1 + bi),

де n = a + b, a — ціле число років, b — дробова частка року.

Приклад 3. Кредит у розмірі 30 тис. грн. надано на строк 3 роки і 160 днів. Якщо обумовлена в контракті ставка дорівнює 6,5 % і передбачено змішаний метод нарахування відсотків, то сума боргу на кінець строку становитиме:

S = 30000 1,0653(1 + 160/365 0,065) = 37271 грн.

За формулою нарощення складних відсотків

S = 30000 1,0653 1.065160/365 = 37252 грн.