Розділи

загрузка...
11.6. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування; Математичне програмування - Наконечний С.І.

11.6. Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування

Якщо гра 2 x n або m x 2 може бути розв’язана геометрично, то у випадку гри 3 x n (m x 3) геометрична інтерпретація переходить у простір, що ускладнює як її побудову, так і сприйняття. У випадку ж, коли n > 3, m > 3, геометрична інтерпретація взагалі неможлива. Для розв’язування гри m x n використовують прийом зведення її до задачі лінійного програмування.

Нехай розглядається парна гра зі стратегіями для гравця А та стратегіями для гравця В і платіжною матрицею . Необхідно знайти оптимальні змішані стратегії та , де , .

Знайдемо спочатку оптимальну стратегію гравця А. За основною теоремою теорії ігор така стратегія має забезпечити гравцеві виграш, не менший за ціну гри (поки що невідому величину) u, за будь-якої поведінки гравця В.

Допустимо, що гравець А застосовує свою оптимальну стратегію, а гравець В — свою «чисту» j-ту стратегію Bj, тоді середній виграш гравця А дорівнюватиме:

. (11.10)

За цих обставин виграш має бути не меншим, ніж ціна гри. Отже, для будь-якого значення j величина виду (11.10) має бути не меншою, ніж u:

Розділивши всі обмеження на u, отримаємо:

Позначивши маємо:

.

Враховуючи умову, що , отримуємо .

Необхідно зробити виграш максимальним. Цього можна досягти, коли вираз набуватиме мінімального значення. Отже, врешті маємо звичайну задачу лінійного програмування.

Цільова функція:

(11.11)

за умов:

(11.12)

. (11.13)

Розв’язуючи цю задачу симплексним методом, знаходимо значення а також величину і значення , що є оптимальним розв’язком початкової задачі. Отже, визначено змішану оптимальну стратегію для гравця А.

За аналогією можна записати задачу лінійного програмування для визначення оптимальної стратегії гравця В. З цією метою позначимо:

Маємо таку лінійну модель задачі:

за умов:

Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі гравця А, а тому оптимальний розв’язок однієї з них визначає також оптимальний розв’язок спряженої.

Розглянемо приклад застосування методів лінійного програмування для знаходження оптимального розв’язку гри.

Агрофірма «Зоря» розробила шість бізнес-планів (X1, X2, X3, X4, X5, X6) для їх здійснення у наступному році. Залежно від зовнішніх умов (погодного стану, ринку тощо) виділено п’ять ситуацій (Y1, Y2, Y3, Y4, Y5). Для кожного варіанта Xi бізнес-плану та зовнішньої ситуації Yj обчислені прибутки, які наведені у табл. 11.2:

Таблиця 11.2

Варіант бізнес-плану

Зовнішня ситуація

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

прибутки, тис. грн

Х1

1,0

1,5

2,0

2,7

3,2

Х2

1,2

1,4

2,5

2,9

3,1

Х3

1,3

1,6

2,4

2,8

2,1

Х4

2,1

2,4

3,0

2,7

1,8

Х5

2,4

2,9

3,4

1,9

1,5

Х6

2,6

2,7

3,1

2,3

2,0

Необхідно вибрати найкращий варіант бізнес-плану або комбінацію із розроблених планів.

Розв’язання.

Маємо гру, платіжною матрицею якої є відповідні елементи вищенаведеної таблиці. Легко переконуємося, що домінуючих стратегій у цій грі немає.

Потім визначаємо:

а також

Отже, тобто немає сідлової точки, а це означає, що необхідно застосувати метод зведення гри до задачі лінійного програмування:

за умов:

Розв’язуємо цю задачу симплексним методом. Оптимальний розв’язок задачі: ; . Звідси отримаємо оптимальний розв’язок для початкової задачі: ; . Ціна гри .