Розділи

загрузка...
7.3. Розв’язування дробово-лінійної задачі зведенням до задачі лінійного програмування; Математичне програмування - Наконечний С.І.

7.3. Розв’язування дробово-лінійної задачі зведенням до задачі лінійного програмування

Нехай потрібно розв’язати задачу (7.1)—(7.3).

Позначимо

і введемо заміну змінних . Тоді цільова функція (7.1) матиме вигляд:

.

Отримали цільову функцію, що виражена лінійною залежністю.

Оскільки , то звідси маємо: . Підставимо виражені через нові змінні значення в систему обмежень (7.2):

Крім того, з початкової умови

.

Умова (7.3) стосовно невід’ємності змінних набуває вигляду:

.

Виконані перетворення приводять до такої моделі задачі:

Отримали звичайну задачу лінійного програмування, яку можна розв’язувати симплексним методом.

Допустимо, що оптимальний розв’язок останньої задачі існує і позначається:

.

Оптимальні значення початкової задачі (7.1)—(7.3) визначають за формулою: .

Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене у Лісостепу України, бажає оптимізувати структуру виробництва. Критерієм оптимальності вибрали максимізацію рівня рентабельності як відношення прибутку до собівартості. У табл. 7.1 маємо дані про види діяльності, якими керівництво товариства передбачає займатися.

Таблиця 7.1

Техніко-економічні показники головних напрямів виробництва

Показник

Напрям виробництва

озима пшениця

цукрові буряки

корови (продуктивність, кг)

кормові культури

ресурс

5000

4500

4000

3500

 

 

Урожайність, т/га

4

35

6

Собівартість, грн/т

600

250

600

700

800

900

200

Ціна, грн/т

800

300

1000

1000

1000

1000

Вихід кормів, т кор. од./га

4,8

2,0

6

Затрати трудових ресурсів, людино-днів/га (гол.)

4

25

6

6

6

6

3

26 000

Затрати механізованої праці, людино-днів/га (гол.)

2

8

3

3

3

3

2

11 000

Частка корів

0,1

0,2

0,3

0,4

Потреба у кормах, т кор. од./гол.

5

4,7

4,4

4,1

Акціонерне товариство має 2500 га ріллі. Для виготовлення кормів передбачається використовувати 20 % урожаю озимої пшениці та 30 % — цукрових буряків.

Знайти оптимальну структуру виробництва.

Розв’язання. Введемо позначення:

х1 — площа посіву озимої пшениці, га;

х2 — площа посіву цукрових буряків, га;

х3 — площа посіву кормових культур, га;

х4 — кількість корів продуктивністю 5000 кг/рік;

х5 — кількість корів продуктивністю 4500 кг/рік;

х6 — кількість корів продуктивністю 4000 кг/рік;

х7 — кількість корів продуктивністю 3500 кг/рік.

Запишемо критерій оптимальності:

за умов дотримання таких обмежень:

1. Обмеження щодо використання ресурсів:

  1. а) використання ріллі:
  2. ;
  3. б) використання живої праці:
  4. ;
  5. в) використання механізованої праці:
  6. .
  7. 2. Обмеження стосовно дотримання сівозмін:
  8. а) посівна площа кормових культур має бути більшою або дорівнювати площі під озимою пшеницею:
  9. ;
  10. б) посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:
  11. .
  12. 3. Структура корів за продуктивністю:
  13. а) балансове рівняння щодо поголів’я корів:
  14. ,
  15. де — загальне поголів’я корів;
  16. б) частка корів продуктивністю 5000 кг/рік:
  17. ;
  18. в) частка корів продуктивністю 4500 кг/рік:
  19. ;
  20. г) частка корів продуктивністю 4000 кг/рік:
  21. ;
  22. д) частка корів продуктивністю 3500 кг/рік:
  23. .
  24. 4. Забезпеченість корів кормами:
  25. Невід’ємність змінних:
  26. ().
  27. Щоб знайти розв’язок за цією моделлю, необхідно зробити відповідну заміну змінних. Нехай:
  28. і .
  29. Тоді маємо таку лінійну економіко-математичну модель:
  30. за умов:

1. ;

  1. ;
  2. .
  3. 2.
  4. 3.
  5. 4. .

5. .

6.  .

Розв’язавши задачу симплексним методом, отримаємо такий оптимальний план: . Враховуючи, що , оптимальним планом початкової задачі буде:

,

причому значення цільової функції (рівень рентабельності виробництва) становить Z = 0,23, тобто 23 %.