Розділи

загрузка...
3.5.1. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень; Математичне програмування - Наконечний С.І.

3.5.1. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень

Допустимо, що деяке k-те обмеження () має в правій частині початкове значення — . Нехай початкова величина змінилась на величину . Отже, k-те обмеження в системі (3.37) буде мати вигляд:

. (3.39)

Для зведення (3.39) до канонічного виду необхідно ввести додаткову змінну xn+k (якщо обмеження має вигляд рівняння, то як таку змінну можна розглядати невід’ємну штучну змінну).

А. Розглянемо випадок, коли додаткова змінна в оптимальному плані небазисна і дорівнює нулю.

З першої теореми двоїстості відомо, що оптимальний план прямої задачі (як і кожен поточний опорний план) можна подати у вигляді:

(3.40)

де D — матриця, що складена з компонент векторів останнього базису; — оптимальний план задачі (3.36)—(3.38); В — вектор, що складається з вільних членів системи обмежень в останній симплексній таблиці.

Отже, якщо змінюються компоненти вектора В, то змінюються також значення . Однак існує діапазон, у межах якого всі компоненти залишаються невід’ємними, тобто структура оптимального плану не змінюється. Визначимо ці межі.

Вектор подамо у вигляді:

, (3.41)

де ek — одиничний вектор-стовпчик, а в ньому одиниця — k-та компонента. Тоді, використовуючи (3.40), маємо:

, (3.42)

де dk — (добуток матриці D–1 на одиничний вектор ek) k-ий стовпчик матриці D–1.

Позначимо елементи k-го стовпчика матриці через , тоді:

або

Остання симплексна таблиця буде мати вигляд:

Таблиця 3.3

Остання симплексна таблиця

Оскільки необхідно, щоб план також був оптимальним, має виконуватися умова невід’ємності всіх компонент даного вектора, отже,

(3.43)

Звідси:

. (3.44)

Тоді нижньою та верхньою границями зміни значення bk відповідно будуть:

;

Якщо не існує жодного для , то , а якщо не існує ні одного для , то .

Для задачі знаходження мінімального значення цільової функції та обмежень системи типу «» значення Δbk змінює знак, оскільки замість нерівності можна розглянути рівносильну нерівність .

Отже, для за будь-якого значення , що відповідає додатковій небазисній змінній , структура оптимального плану задачі (3.36)—(3.38) залишиться постійною.

В. Розглянемо випадок, коли додаткова змінна — базисна.

Якщо додаткова змінна xn+k базисна, то це означає, що у виразі (3.42) dk –одиничний вектор з k-ою компонентою, рівною одиниці, отже, система нерівностей (3.43) перетвориться в таку:

Очевидно, що значення додаткової базисної змінної визначає діапазон змін, в якому відповідна компонента bk може зменшуватись (збільшуватись для обмежень типу «»).

Оптимальний план залишається незмінним у діапазоні bk + Δbk для тих , яким відповідають додаткові базисні змінні xn + k, де

(3.45)

для обмежень системи (3.37) типу «».

Для задачі знаходження мінімального значення цільової функції та обмежень системи (3.37) типу « » можливі зміни компонент правої частини системи обмежень визначаються з нерівності:

де, . (3.46)

С. Якщо компоненти вектора вільних членів системи обмежень задачі лінійного програмування змінюються водночас для кількох чи всіх значень , то визначення границь можливих змін величин стає надто складною проблемою. Однак у такому разі завжди можна перевірити, чи задовольняють конкретні зміни величин систему виду:

,

де Е — одинична матриця. Якщо позначити елементи матриці через , тоді:

або .

Оскільки необхідно, щоб план також був оптимальним, має виконуватися умова невід’ємності всіх компонент вектора, отже:

,

тобто:

(3.47)

Якщо значення задовольняють всі нерівності системи (3.47), то структура оптимального плану задачі (3.36)—(3.38) залишається постійною.

Для визначення верхньої та нижньої границь змін , в межах яких структура оптимального плану залишається постійною, необхідно розв’язати систему нерівностей (3.47). Однак у більшості випадків для знаходження оптимального плану нової задачі лінійного програмування простіше розв’язати задачу симплексним методом, змінюючи вільні члени системи (3.37) на .

D. Для двох значень , що задовольняють систему (3.47), причому за оптимальним планом обмеження, що відповідають , у системі (3.37) виконуються як рівняння, можна визначити норму заміщення, що показує, наскільки необхідно збільшити (зменшити) величину за зменшення (збільшення) , щоб значення цільової функції залишилось незмінним.

З третьої теореми двоїстості відомо, що за малих значень , тобто за таких значень приросту, які не змінюють значення двоїстих оцінок, а отже, задовольняють систему (3.47), виконується рівняння: , або

.

Нехай величина br змінилась на Δbr. Визначимо, як необхідно змінити bs, щоб значення цільової функції залишилось тим самим. Зміна br означає, що , аналогічно за зміни на маємо: . Аби значення функціонала залишалось незмінним, необхідно, щоб

.

Звідси виразимо шуканий вплив на :

. (3.48)

При відповідній заміні величин br та bs значення цільової функції задачі (3.36)—(3.38) не зміниться, проте оптимальний план буде іншим. Нехай задача (3.36)—(3.38) описує визначення оптимального плану виробництва за умов обмежених ресурсів.

Економічний зміст нерівностей (3.44), (3.45), (3.46), (3.47) полягає в тому, що вони визначають границі змін загальних обсягів ресурсів, у межах яких визначена оптимальним планом структура виробництва продукції залишається незмінною.

Рівняння (3.48) визначає, якою кількістю одного ресурсу можна замінити інший ресурс, щоб цільова функція не змінилась, причому розглядаються лише ті ресурси, які використані повністю при виробництві продукції за оптимальним планом.