Розділи

загрузка...
3.3.3. Третя теорема двоїстості; Математичне програмування - Наконечний С.І.

3.3.3. Третя теорема двоїстості

Як було з’ясовано в попередньому параграфі, існування двоїстих змінних уможливлює зіставлення витрат на виробництво і цін на продукцію, на підставі чого обґрунтовується висновок про доцільність чи недоцільність виробництва кожного виду продукції. Крім цього, значення двоїстої оцінки характеризує зміну значення цільової функції, що зумовлена малими змінами вільного члена відповідного обмеження. Дане твердження формулюється у вигляді такої теореми.

Теорема (третя теорема двоїстості). Компоненти оптимального плану двоїстої задачі дорівнюють значенням частинних похідних від цільової функції за відповідними аргументами , або

(3.28)

Доведення. Розглянемо задачу лінійного програмування, подану в канонічній формі:

(3.29)

(3.30)

(3.31)

Двоїсту задачу до задачі (3.29)—(3.31) сформулюємо так: знайти оптимальний план , за якого мінімізується значення

(3.32)

за умов:

(3.33)

причому умова невід’ємності змінних відсутня.

Позначимо — оптимальний план двоїстої задачі, — оптимальний план задачі (3.29)—(3.31). За першою теоремою двоїстості відомо, що:

,

або

. (3.34)

Оскільки досліджується питання впливу зміни значень на F, то лінійну функцію (3.34) можна розглядати як функцію від аргументів . Тоді частинні похідні за змінними будуть дорівнювати компонентам оптимального плану двоїстої задачі :

. (3.35)

Однак дане твердження справедливе лише у тому разі, коли компоненти оптимального плану залишаються постійними, а оскільки за першою теоремою двоїстості , то значення двоїстих оцінок будуть незмінними лише за умови постійної структури оптимального плану початкової задачі.

Отже, рівності (3.35) справджуються лише за незначних змін , інакше суттєва зміна умов початкової задачі (правих частин системи обмежень (3.30) та цільової функції (3.32)) приведе до зміни базису в оптимальному плані прямої задачі, а значить, і до іншого розв’язку двоїстої .

Економічний зміст третьої теореми двоїстості. Двоїсті оцінки є унікальним інструментом, який дає змогу зіставляти непорівнянні речі. Очевидно, що неможливим є просте зіставлення величин, які мають різні одиниці вимірювання. Якщо взяти як приклад виробничу задачу, то цікавим є питання: як змінюватиметься значення цільової функції (може вимірюватися в грошових одиницях) за зміни обсягів різних ресурсів (можуть вимірюватися в тоннах, м2, люд./год, га тощо).

Використовуючи третю теорему двоїстості, можна легко визначити вплив на зміну значення цільової функції збільшення чи зменшення обсягів окремих ресурсів: числові значення двоїстих оцінок показують, на яку величину змінюється цільова функція за зміни обсягу відповідного даній оцінці ресурсу .

Отже, за умови незначних змін замість задачі (3.29)—(3.31) маємо нову задачу, де замінено на . Позначимо через оптимальний план нової задачі. Для визначення не потрібно розв’язувати нову задачу лінійного програмування, а достатньо скористатися формулою , де  — оптимальний план задачі (3.29)—(3.31).