Розділи

загрузка...
2.2. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування; Математичне програмування - Наконечний С.І.

2.2. Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування

Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ — так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді:

(2.1)

за умов:

(2.2)

(2.3)

Отже, потрібно знайти значення змінних x1, x2, …, xn, які задовольняють умови (2.2) і (2.3), і цільова функція (2.1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Для довільної задачі математичного програмування у § 1.2 були введені поняття допустимого та оптимального планів.

Для загальної задачі лінійного програмування використовуються такі поняття.

Вектор Х = (х1, х2, …, хn), координати якого задовольняють систему обмежень (2.2) та умови невід’ємності змінних (2.3), називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Допустимий план Х = (х1, х2, …, хn) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (2.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (2.3) щодо невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х1, х2, …, хn), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція (2.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Задачу (2.1)—(2.3) можна легко звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (2.2) всі bi (i = 1, 2, …, m) невід’ємні, а всі обмеження є рівностями.

Якщо якесь bi від’ємне, то, помноживши i-те обмеження на (– 1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. Коли i-те обмеження має вигляд нерівності аi1х1 + аi2х2 + … + аinxnbi, то останню завжди можна звести до рівності, увівши додаткову змінну xn + 1: ai1x1 + ai2x2 + … + + ain xn + xn + 1 = bi.

Аналогічно обмеження виду аk1x1 + ak2x2 + … + aknxnbk зводять до рівності, віднімаючи від лівої частини додаткову змінну хn + 2, тобто: ak1x1 + ak2x2 + … + aknxnxn + 2 = bk (хn+1 ≥ 0, хn+2 ≥ 0).

Доведемо, що заміна нерівностей рівняннями за допомогою введення додаткових змінних не змінить розв’язку початкової задачі. Розглянемо лінійну нерівність з n невідомими:

(2.4)

Для зведення нерівності (2.4) до рівняння необхідно до її лівої частини додати деяку невід’ємну величину хn + 1 ≥ 0. У результаті дістаємо лінійне рівняння, яке містить n+1 змінну:

a1x1 + a2x2 + … + anxn + xn + 1 = b. (2.5)

Теорема 2.1. Кожному розв’язку нерівності (2.4) відповідає єдиний розв’язок рівняння (2.5), який одночасно є розв’язком нерівності (2.4), і, навпаки, кожному розв’язку рівняння (2.5) і нерівності (2.4) відповідає єдиний розв’язок нерівності (2.4).

Доведення: Нехай X* — розв’язок нерівності (2.4), тоді підстановкою нерівність виконується:

.

Перенесемо ліву частину даної нерівності в праву і позначимо вираз у правій частині через , тобто:

Отже, розв’язок задовольняє рівняння (2.5) і водночас нерівність (2.4). Дійсно, і при підстановці в рівняння маємо:

Навпаки, нехай Y* задовольняє рівняння (2.5) і нерівність (2.4), тобто:

і .

Тоді, відкидаючи в лівій частині рівності невід’ємну величину , отримаємо нерівність:

.