Розділи

загрузка...
РОЗДІЛ 1. ПРЕДМЕТ, СФЕРИ ТА ОСОБЛИВОСТІ ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ. КЛАСИФІКАЦІЯ ЗАДАЧ; 1.1. Предмет та об’єкти математичного програмування; Математичне програмування - Наконечний С.І.

РОЗДІЛ 1. ПРЕДМЕТ, СФЕРИ ТА ОСОБЛИВОСТІ ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ. КЛАСИФІКАЦІЯ ЗАДАЧ

  «Мало є речей, які не піддаються математичному обґрунтуванню; і коли вони не піддаються, це ознака того, що наші знання про них дуже малі і нечіткі. А маючи змогу вдатись до математичного обґрунтування, великою дурістю було б шукати якесь інше, — це все одно, що йти навпомацки в темряві, коли поряд стоїть свічка».

Дж. Арбатнот

1.1. Предмет та об’єкти математичного програмування

Назва дисципліни «Математичне програмування» асоціюється передусім з програмуванням як процесом створення програм для ПЕОМ за допомогою спеціальної мови. Проте насправді це лише не дуже вдалий переклад англійського терміну mathematical programming, що означає розроблення на основі математичних розрахунків програми дій для досягнення обраної мети. В економічних, виробничих, технологічних процесах різних галузей народного господарства виникають задачі, подібні за постановкою, що мають ряд спільних ознак та розв’язуються подібними методами. Типова постановка задачі математичного програмування така: деякий процес може розвиватися за різними варіантами, кожен з яких має свої переваги та недоліки, причому, як правило, таких варіантів може бути безліч. Необхідно із усіх можливих варіантів вибрати найкращий. З цією метою використовуються математичні методи.

Сутність задачі економічного вибору та пов’язану з цим необхідність використання моделей та методів математичного програмування проілюструємо на прикладі.

Фірма спеціалізується на виготовленні та реалізації електроплит і морозильних камер. Припустимо, що збут продукції необмежений, проте обсяги ресурсів (праці та основних матеріалів) обмежені. Завдання полягає у визначенні такого плану виробництва продукції на місяць, за якого виручка була б найбільшою.

Норми використання ресурсів та їх загальний запас, а також ціни одиниці кожного виду продукції наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

ІНФОРМАЦІЯ, НЕОБХІДНА ДЛЯ СКЛАДАННЯ ВИРОБНИЧОЇ ПРОГРАМИ

Вид продукції

Норми витрат на одиницю продукції

Ціна одиниці продукції, ум. од.

робочого часу, люд.-год.

листового заліза, м2

скла, м2

Морозильна камера

9,2

3

300

Електрична плита

4

6

2

200

Загальний запас ресурсу на місяць

520

240

40

Розглянемо кілька можливих варіантів виробничої програми.

Перша виробнича програма. Очевидно, що найпростішим з усіх можливих варіантів є виробництво одного виду продукції. Припустимо, що виготовляються лише морозильні камери. Ресурс робочого часу (520 люд.-год.) дає змогу виготовляти 520 : 9,2 = 56 морозильних камер. Наявна кількість листового заліза забезпечує виготовлення 240 : 3 = 80 морозильних камер. Скло для виготовлення даного виду продукції не використовується. Отже, кожного місяця можна випускати лише 56 морозильних камер, що дасть виручку обсягом 56 • 300 = 16 800 ум. од.

Зазначимо, що у разі реалізації такої виробничої програми загальний запас листового заліза використовується не повністю, а скло не використовується взагалі.

Друга виробнича програма. Визначимо кількість електроплит, які можна виготовити за даних обсягів ресурсів:

На виробництво 20 електроплит буде використано таку кількість ресурсів:

 

буде використано

залишок

робочий час:

20 • 4 = 80 (люд.-год.)

520 – 80 = 440 (люд.-год.)

листове залізо:

20 • 6 = 120 (м2)

240 – 120 = 120 (м2)

скло:

20 • 2 = 40 (м2)

немає

Залишки першого та другого ресурсів забезпечать виробництво морозильних камер обсягом:

Отже, друга виробнича програма уможливлює виробництво 20 електроплит та 40 морозильних камер. Виручка становитиме:

20 • 200 + 40 • 300 = 16 000 ум. од.

Зіставляючи першу та другу виробничі програми, бачимо, що за першою виручка є більшою, отже, вона краща, ніж друга.

Зрозуміло, що розглянуті програми не вичерпують усіх можливих варіантів. Наприклад, доцільно було б розглянути програму виробництва 41 морозильної камери та можливої кількості електроплит; 42 морозильних камер та можливої кількості електроплит; 43 морозильних камер та можливої кількості електроплит і т. д. Отже, для того, щоб знайти найкращий варіант виробництва продукції, необхідно перебрати досить велику кількість всіх можливих варіантів (для інших задач у більшості випадків кількість таких варіантів є дуже великою або нескінченною).

Зауважимо, що дана задача є надто спрощеною порівняно з реальними економічними задачами, в яких кількість ресурсів та видів продукції може сягати сотень найменувань, і тоді простий перебір всієї множини варіантів абсолютно неможливий. Отже, постає необхідність розроблення спеціальних математичних методів розв’язання таких задач, тобто математичного обґрунтування найефективніших виробничих програм. Саме зі словом «програма» і пов’язана назва предмета — «математичне програмування».

Пошук реального оптимального плану є, як правило, складним завданням і належить до екстремальних задач, в яких необхідно визначити максимум чи мінімум (екстремум) функції за визначених обмежень.

Математичне програмування — один із напрямків прикладної математики, предметом якого є задачі на знаходження екстремуму деякої функції за певних заданих умов.

Об’єктами математичного програмування є різноманітні галузі людської діяльності, де в певних ситуаціях необхідно здійснити вибір найкращого з можливих варіантів дій. Основою такого вибору є знаходження розв’язку екстремальної задачі методами математичного програмування.

Розв’язання екстремальної економічної задачі складається з побудови економіко-математичної моделі, підготовки інформації, відшукання оптимального плану, економічного аналізу отриманих результатів і визначення можливостей їх практичного застосування.

Математична модель економічного об’єкта (системи) — це його спрощений образ, поданий у вигляді сукупності математичних співвідношень (рівнянь, нерівностей, логічних співвідношень, графіків тощо).