Розділи

загрузка...
16.7. Стійкий розв’язок рівняння боргу; Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

16.7. Стійкий розв’язок рівняння боргу

Коли сеньйораж є більшим за реальний поточний дефіцит:

то обсяг розміщення боргових зобов’язань буде меншим за величину обслуговування поточного боргу. Тому отримати стійкий розв’язок рівняння (16.9) за позитивного значення норми реальної дохідності облігацій r > 0 можливо лише за умови, що обсяги сеньйоражу перевищуватимуть реальний дефіцит бюджету. В цьому випадку загальні обсяги боргових зобов’язань можуть регулюватися, зокрема, через проведення певної монетарної політики. Наприклад, обсяги сеньйоражу можуть бути встановлені на такому рівні, щоб покривати бюджетний дефіцит і нові запозичення. За відомого потоку майбутнього «чистого» сеньйоражу SN = SN(t) та виконання умови збіжності звичайне диференціальне рівняння

, (16.11)

яке можна записати в еквівалентній інтегральній формі

(16.12)

що легко перевірити диференціюванням, тут розв’язок (16.12) параметрично залежить від функції SN(t). Розв’язок (16.12) має глибокий економічний зміст. Якщо невласний інтеграл у його правій частині сходиться, то у цьому випадку він являє собою дисконтовану за дохідністю r > 0 до поточного моменту t поточну вартість майбутнього потоку сеньйоражу. Тобто b(t, S) — це ринкова вартість державного боргу, яка є скінченною величиною, незважаючи на невід’ємність параметра дохідності (r > 0). Отже, використання в економічних обчисленнях і в прийнятті економічно обґрунтованих рішень на перспективу ринкової вартості боргу є цілком виправданим і обґрунтованим, оскільки відображає в кожен момент часу можливість еволюції, наприклад перепродажу, боргу в майбутньому. Це робить вираз (16.12) надзвичайно зручним в економічних розрахунках і моделюванні.

Для відомої (фіксованої) функції сеньйоражу маємо b(t, S) = = b(t), а стійкий розв’язок (16.11) можна отримати, зокрема, методом Сарджента—Уоллеса. Знаходження розв’язку складається з двох етапів. Спочатку методом варіації довільної константи, що згадувалась у підрозд. 16.4, знаходимо загальний розв’язок неоднорідного рівняння (16.11):

де А — довільна константа інтегрування, яка добирається так, щоб виконувалася умова

Виконання цієї умови забезпечує збіжність невласного інтеграла який є стійким розв’язком для рівняння (16.11).

Треба наголосити, що рівняння (16.11) є, власне, умовою арбітражу, що розглядалось у підрозд. 16.3. З погляду приватного інвестора це рівняння формує ринкові вимоги щодо дохідності державного боргу. З погляду уряду умова

стверджує, що потреба в обслуговуванні поточного боргу (rb) визначає обсяги як сеньйоражу , так і додаткового розміщення боргів (b) на вільному ринку. Закріплення норм дохідності або ринком, або політикою обмежує привабливість нових облігацій, а отже, можливості держави щодо розміщення додаткових боргів. У цьому випадку природно вважати, що уряд може брати в борг лише за умови 0 < a < r, тобто купонна дохідність є додатною:

Випадок нульової купонної дохідності потрібно вилучити з міркувань недопустимості ігор Понці (фінансових пірамід), тимчасом як випадок r = d відповідає стаціонарній точці для (16.11).

Зрозуміло, що уряд як монопольний емітент боргових зобов’язань свою коротку позицію на ринку облігацій може забезпечити, лише переконавши приватних інвесторів зайняти довгу позицію. З погляду приватних інвесторів — власників реальних грошових балансів і реальних боргів держави — безризикова норма відсотка диктує загальні вимоги інвесторів до дохідності державних облігацій, тоді як сеньйораж забезпечує їхні поточні доходи чи купонні виплати. За заданих значень r і d загальна фінансова збалансованість визначатиметься обсягом нових позик чи зміною капітальної вартості активів a, де r = d + a.

Викладене вище означає, зокрема, що майбутній потік зростаючого з постійним темпом сеньйоражу фактично дисконтується за ставкою купонних виплат. Нехай у розв’язку (16.12) купонні виплати зростають з постійним темпом

тоді для t ? t та кожного t маємо

звідки й отримуємо справедливість співвідношення , зокрема, можливість подання боргу як величини, пропорційної сеньйоражу.

Розгляньмо ще одну умову, котра дозволяє дещо спростити модель, не порушуючи її економічної загальності. З наведених вище міркувань випливає, що реалізація послідовної бюджетної політики вимагає рівності між приведеною поточною вартістю сеньйоражу й податків, з одного боку, і ринковою вартістю бор- гу та приведеною поточною вартістю державних витрат — з другого, тобто рівності

Уважаючи, що дисконтовані вартості потоків майбутніх податків і бюджетних витрат дорівнюють одне одному, отримаємо, що ринкова вартість боргу — це приведена поточна вартість потоку майбутнього сеньйоражу:

(16.13)

Умова (16.13), яка дозволяє розглянути залежність між сеньйоражем і боргом, широко використовується в наукових дослідженнях для більш адекватного, в стохастичній постановці, формулювання проблеми.

Зрозуміло, що величина (16.13) параметрично залежить від потоку сеньйоражу, тож у загальному випадку має місце

(16.14)

Для (16.14) стаціонарний стан визначається як b(t, S) = b(S) і дорівнює

За умови, що сеньйораж зростає з постійним темпом a > 0, який пов’язаний з купонним доходом d > 0 і безризиковою ставкою дохідності облігацій r > 0 співвідношенням

,

ринкова вартість державного боргу в стаціонарному стані являє собою величину

або

яка відіграє важливу роль у стохастичних моделях динаміки сеньйоражу.