Розділи

загрузка...
16.4. Розв’язання рівняння арбітражу; Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

16.4. Розв’язання рівняння арбітражу

Розгляньмо умову відсутності арбітражу (16.2) з формального погляду, тобто як рівняння, розв’язки котрого потрібно відшукати. Нехай ставка дохідності й купонний дохід є відомими функціями від часу, і рівняння (16.2) записане у вигляді:

(16.3)

Загальний розв’язок звичайного неоднорідного диференційного рівняння першого порядку (16.3) можна відшукати, зокрема, методом варіації довільної константи у вигляді

(16.4)

де А(t) — невідома постійна, що є функцією часу, а

Диференціюючи (16.4) та підставляючи результати у (16.3), знайдемо за заданих поточних умов V(0) = V0 загальний розв’язок рівняння арбітражу у вигляді:

. (16.5)

Відшуканий розв’язок є ніби «поглядом у майбутнє»: вартість активу в будь-який момент майбутнього визначається як зміна початкових умов (початкової вартості активу) під впливом ставки відсотка й купонних сплат. Економічний сенс розв’язку є досить прозорим: у майбутньому вартість активу зростає відповідно до ставки відсотка, а обсяги купонних сплат майбутню вартість активу зменшують.

Зазначимо, що для багатьох економічних процесів зручніше припустити відомими значення процесу не в початковий момент часу, а в кінцевий t = T.

Вартість активу може бути заданою умовами контракту на деякий кінцевий момент часу в майбутньому, наприклад, як вартість боргу (сума, що взята в борг разом з відсотками) V(T) = VT. У цьому випадку розв’язок (16.3) відшукують немовби з кінця, як «погляд у минуле», за відомого кінцевого значення процесу. Підстановкою t? = T – t рівняння арбітражу зводиться до вигляду:

(16.6)

і означає, що протягом нескінченно малого періоду часу dt вартість боргу, котра в кінці нього дорівнює величині Vt, зменшується на величину r(t?)V(t?) dt? за відсутності арбітражного прибутку. Розв’язок (16.6) відшукується аналогічним способом варіації довільної змінної, який приводить до знаходження функції

(16.7)

Зокрема, за постійних значень купонного доходу C(t?) = C і ставки відсотка r(t?) = r отримаємо

Розв’язок (16.7) показує, що поточна ринкова вартість боргу являє собою дисконтовану за ставкою відсотка величину вартості боргу, скориговану на величину дисконтованої вартості купонних сплат.