Розділи

загрузка...
7.2. Рівняння Слуцького; Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

7.2. Рівняння Слуцького

Розгляньмо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (7.3):

якщо зміниться ціна одного з товарів.

Нехай ціна n-го товару зросла на apn, тоді згідно з (7.6) попит на кожен товар зміниться так:

але, оскільки (7.6) — це лише інший запис (7.4) і (7.5), то рівняння для одержимо, диференціюючи за pn ці співвідношення, тобто:

(7.7)

Система з (n + 1) лінійних рівнянь (7.7) відносно (n + 1) невідомих у матричній формі запишеться таким чином (штрих означає транспонування, p — вектор-рядок цін, U — матриця Гессе, x* — вектор-стовпчик попиту на товари):

(7.8)

Матриця, обернена до матриці рівнянь (7.8), має вигляд:

де m = – (pU–1 p?) –1 > 0.

Тому розв’язок системи рівнянь (7.8) у матричній формі має вигляд:

Індекс n у матриці (в дужках) означає, що взято її n-й стовпчик.

Отже, збільшення (зміна) ціни на n-й товар привело до такої зміни попиту на товари:

. (7.9)

Тепер доцільно з’ясувати зміст складових, що входять у рівняння (7.9).

Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією

Розгляньмо таке збільшення доходу на dM, яке компенсувало б споживачеві збільшення ціни на dpn (на n-й товар, благо).

Згідно з теоремою споживання це означає, що корисність споживача збереглася на попередньому рівні, тобто:

Маємо використати рівняння (7.5), з якого отримаємо:

Звідси маємо, що:

або, остаточно, умова постійності корисності:

(7.10)

Тепер можемо визначити dM, використовуючи (7.4) та (7.10):

тобто дохід зріс рівно настільки, скільки необхідно було б додатково витратити споживачеві на придбання n-го товару в попередньому обсязі за зростання ціни на величину dpn.

Диференціювання рівняння (7.5) за pn приводить до тих самих результатів, що і раніше. Тому за компенсованої зміни ціни отримаємо такі рівняння для :

випливає з

, (7.11)

які в матричній формі наберуть вигляду:

(7.12)

Розв’язок системи рівнянь (7.12) знову ж знаходимо за допомогою оберненої матриці:

Отже, збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:

(7.13)

Тобто друга складова у правій частині (7.9) — це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на dpn компенсується збільшенням доходу на

Розгляньмо зміну попиту за зміни доходу.

Нехай дохід змінюється на dM, тоді попит зміниться так:

Рівняння для знову ж таки отримаємо, диференціюючи за M співвідношення (7.4), (7.5):

(7.14)

або у матричній формі:

(7.15)

Тому

,

звідки маємо:

(7.16)

Об’єднуючи (7.9), (7.13), (7.16), отримаємо таке рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:

(7.17)

А оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (7.17) (з від’ємним знаком) якраз і знімає штучний приріст попиту, що викликаний компенсуючим зростанням доходу.

Для того щоб скористатися рівнянням Слуцького, вивчимо властивості матриці:

Ця матриця симетрична, оскільки симетричною є матриця U–1, а остання симетрична внаслідок симетричності матриці U.

Матриця H від’ємно напіввизначена, що означає: zHz? ? 0 для будь-якого вектор-рядка z.

Розглянемо випадок, коли z = ap, a ? 0, тоді

де ).

Нехай тепер напрямок z не збігається з напрямком p (тобто z ? ap за будь-якого a), тоді z можна подати у вигляді:

z = ap + v, v = z – ap,

де (це число), n ? 0 (якщо б n = 0, то z = ap).

З такого подання z маємо:

а тому

оскільки U–1 від’ємно визначена.

Якщо взяти за z вектор z = (0, …, 1, 0, …, 0), тобто вектор-рядок, усі елементи якого, окрім i-го, дорівнюють нулю, а i-й елемент дорівнює 1, то

zHz? = hii < 0,

тобто всі діагональні елементи матриці H є від’ємними. Тому

(7.18)

Отже, навіть за компенсованого зростання ціни товару попит на цей товар усе-таки спадає.

Товар і називають цінним, якщо зі зростанням доходу попит на нього зростає , малоцінним — якщо .

Оскільки згідно з (7.14)

(7.19)

то цінні товари обов’язково існують.

Попит на цінний товар спадає за зростання ціни на нього, це безпосередньо випливає з рівняння Слуцького для (i-го) товару:

Згідно з (7.11)

тому обов’язково знайдеться такий товар l, для якого

Тобто зменшення попиту на i-й товар приводить до зростання попиту на l-й товар.

Такі товари називають взаємозамінюваними, наприклад, тваринні жири і рослинна олія.

Якщо ж , то товари i та m утворюють взаємодоповнювальну пару (компенсоване зростання ціни на бензин спричинює спад попиту як на бензин, так і на автомобілі).

Продукт l називають валовим замінником продукту i, якщо

Функція попиту має властивість валової замінності, якщо зі зростанням ціни на будь-який продукт і попит на решту продуктів не знижується:

Якщо ж , то функція попиту має властивість сильного валового заміщення. Можна довести, що функція попиту, породжена функцією корисності

має властивості сильного валового заміщення.

Ефекти заміщення та доходу за підвищення (зниження) ціни на один із товарів ілюструють рис. 7.1 та 7.2 відповідно.

Ефект заміщення та ефект доходу за підвищення ціни

Рис. 7.1. Ефект заміщення та ефект доходу за підвищення ціни

Ефект заміщення та ефект доходу за зниження ціни

Рис. 7.2.Ефект заміщення та ефект доходу за зниження ціни

Ефект доходу полягає у зміні споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.

Ефект заміщення полягає у зміні споживання внаслідок зміни відносних цін.