Розділи

загрузка...
3.5. Приклади імітаційного моделювання; Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

3.5. Приклади імітаційного моделювання

Будівництво підприємства

Підприємець збирається вкласти кошти в будівництво нового підприємства, котре випускатиме певну продукцію, що користується попитом на ринку. Аналогічну продукцію випускають і інші фірми, тому доведеться діяти в умовах конкуренції.

Існує можливість приблизно оцінити майбутні експлуатаційні витрати з випуску продукції, тобто вважати відомими математичне сподівання (чи середнє значення) і середньоквадратичне відхилення очікуваних витрат. Можна також припустити гіпотезу, за якою витрати матимуть нормальний закон розподілу із заданими параметрами.

Припускається, що місткість ринку (випадкова величина) має, наприклад, нормальний закон розподілу (з відомими параметрами — математичним сподіванням і середньоквадратичним відхиленням).

Гірші справи — стосовно до інформації для визначення характеристик тієї частки ринку, котру може зайняти це підприємство після введення його в експлуатацію. Припустимо, що єдине, що вдасться передбачити, — це середня величина частки цього ринку. Вид розподілу здебільшого невідомий, і немає достатніх підстав для того, щоб вважати розподіл нормальним.

У цьому випадку доречно використати розподіли з іншого їх класу (наприклад, рівномірний чи інтервально-рівномірний). Доцільно розглянути кілька варіантів розподілу та проаналізувати реакцію моделі на зміни як обраних функцій розподілу, так і їхніх параметрів.

За показник ефективності роботи підприємства доречно обрати, зокрема, прибуток від реалізації продукції, знаходячи максимум гарантованого прибутку за заданого ступеня одного з кількісних показників ризику. Якщо для цього є підстави, то береться гіпотеза, що випадкова величина прибутку має нормальний закон розподілу.

Отже,сформуємо концептуальну модель, яка враховує таке:

1. Випуск продукції пов’язаний з експлуатаційними витратами (випадкова величина Rrach), котрі мають (за гіпотезою) нормальний закон розподілу із заданими параметрами: математичним сподіванням витрат (mrach) і середньоквадратичним відхиленням витрат (srach);

2. Місткість ринку, де має реалізуватись продукція підприємства, також є випадковою величиною (Rryn), яка має (за припущенням) нормальний закон розподілу із заданими параметрами: математичним сподіванням місткості ринку (mryn) і середньоквадратичним відхиленням місткості ринку (sryn);

3. Частка підприємства на ринку є невизначеною і може бути задана деякою випадковою величиною з певною функцією розподілу (наприклад інтервально-рівномірною функцією);

4. Вважатимемо, що прибуток підприємства є випадковою величиною (Rprof), котра визначається з виразу:

(3.9)

де Rprof — випадкова величина прибутку підприємства; Rryn — випадкова величина місткості ринку; dryn — випадкова величина частки ринку підприємства; Rrach — випадкова величина експлуатаційних витрат підприємства.

Результуючими характеристиками моделі вважатимемо:

(3.10)

(3.11)

Показником ефективності функціонування підприємства оберемо гарантований прибуток за заданого рівня ризику, який визначатимемо за формулою:

де Gprof гарантований обсяг прибутку згідно із заданим значенням показника ризику a; mprof — оцінка математичного сподівання прибутку

;

sprof — оцінка середньоквадратичного відхилення прибутку:

(3.12)

ka — квантиль нормального закону розподілу відповідно до заданого значення компоненти (a) вектора ризику, наприклад, якщо a = 0,1, то ka = 1,28 (визначається за таблицями щільності нормального закону розподілу).

Вплив кожного з урахованих чинників імітується за допомогою спеціально організованого жеребкування (розігрування). Таким чином будується одна випадкова реалізація модельованого явища, котра являє собою один результат дослідження (один прогон). За великої кількості реалізацій досліджень (прогонів) середні характеристики (математичне сподівання, мода, медіана), що їх виробляє (генерує) модель, набувають стійких властивостей.

Для моделювання неперервних і дискретних випадкових величин х з відомими функціями розподілу можна використати генератор випадкових чисел, що генерує випадкове число ?, а після цього, здійснюючи обчислення за відповідними формулами, отримати реалізацію х випадкової величини х.

Наприклад, моделювання випадкової величини з довільним розподілом можна здійснити за такою схемою.

Нехай є підстави подати (наближено) функцію розподілу випадкової величини х,яка задана на відрізку [a0, an], інтервально-постійною функцією щільності розподілу f(x). Це означає, що відрізок розподіляється на n часткових відрізків так, щоб імовірність розподілу на кожному з них була (наближено) однаковою (рис. 3.5).

Наближена інтервально-постійна  функція

Рис. 3.5. Наближена інтервально-постійна функція щільності розподілу випадкової величини з довільним розподілом

Доцільно обрати величини ak, k = 0, 1, …, n так, щоб імовірності (Pk) потрапляння випадкової величини в будь-який частковий відрізок були однаковими, тобто:

(3.13)

З умови, що f(x) = const = ck на кожному частковому інтервалі, випливає, що випадкова величина Х може бути визначена за формулою:

(3.14)

де x — реалізація випадкової величини, рівномірно розподіленої на інтервалі (0; 1); ak–1 — ліва межа часткового відрізка; ak — права межа часткового відрізка.

Потрапляння у будь-який частковий інтервал можна розглядати як подію, що входить до складу повної групи несумісних подій. Тому процедура моделювання у загальному випадку полягає у такому:

1. За допомогою генератора випадкових чисел (ГВЧ), що виробляє величину ?, моделюємо дискретну випадкову величину — номер інтервалу k.

2. Повторно розігруємо випадкову величину ? і визначаємо значення (реалізацію) випадкової величини Х за формулою (3.14). Блок-схема алгоритму показана на рис. 3.6.

Блок-схема алгоритму

Рис. 3.6. Блок-схема алгоритму моделювання випадкової величини, яка має довільну функцію розподілу

Узагальнений алгоритм моделі

Загальний вигляд (макет) стартової форми (як зразок) наведено на рис. 3.7.

Макет стартової форми

Рис. 3.7. Макет стартової форми

У макет включені такі об’єкти управління: кілька міток із назвами об’єктів; поля для коригування вихідних даних, а також поля для виводу результатів моделювання.

Узагальнена схема алгоритму обчислення величини Gprof наведена на рис. 3.8.

Подамо сутність операторів узагальненої схеми, наведеної на рис. 3.8.

Оператор 1 здійснює введення вхідних даних та всіх необхідних параметрів.

Оператор 2 є початком циклу прогонів випадкових реалізацій. Цикл завершується, коли I = Np.

Оператор 3 звертається до процедури, що генерує можливе значення нормованих (нормалізованих) і центрованих випадкових величин, які розподілені згідно з нормальним законом розподілу.

 Узагальнений алгоритм обчислення величини

Рис. 3.8. Узагальнений алгоритм обчислення величини Gprof

Оператор 4 обчислює випадкове значення експлуатаційних витрат.

Оператори 5 і 6 аналогічно попередньому визначають випадкову величину місткості ринку.

Оператор 7 звертається до процедури, котра визначає реалізацію випадкового значення частки підприємства на ринку. Ця випадкова величина генерується, зокрема, згідно з описаною вище процедурою моделювання випадкових величин з довільним розподілом.
Оператор 8 визначає за формулою (3.9) обсяг випадкового значення величини прибутку для однієї реалізації модельованого процесу.

В операторі 9 здійснюється накопичення суми прибутків і суми квадратів прибутків для всіх прогонів і відповідних реалізацій цих випадкових величин (формули (3.10), (3.11)).

Після завершення випадкових реалізацій оператор 10 здійснює за наведеними вище формулами обчислення величин mprof,sprof, Gprof .

Оператор 11 виводить результати моделювання на монітор (чи на принтер).

Числовий приклад

Нехай відомі такі дані:

mrach — середнє значення експлуатаційних витрат (у грн): mrach = 11 000;

srach — середньоквадратичне відхилення експлуатаційних витрат: srach = 11 000;

mryn — середнє значення місткості ринку: mryn = 2 780 000;

sryn — середньоквадратичне відхилення місткості ринку: sryn =250 000;

Np — кількість випадкових реалізацій: Np = 1000.

Змінюваними параметрами вважатимемо параметри закону розподілу частки підприємства на ринку.

Розгляньмо три варіанти розподілу.

Для першого варіанта припустимо, що кількість граничних точок n = 2 (діапазон зміни цієї випадкової величини складається з однієї ділянки). Закон розподілу є рівномірним. Нехай середнє значення частки ринку дорівнює 0,1. Оберемо такі значення координат граничних точок: а0 = 0,099; а1 = 0,101. Отже, для першого варіанта ступінь невизначеності досить невеликий. Частка підприємства на ринку практично постійна (становить 10 % його загальної місткості).

Для другого варіанта припустимо, що кількість граничних точок становить: п = 6 (діапазон складається з п’яти ділянок). Нехай маємо те саме середнє значення (0,1). Граничні точки розташовані симетрично відносно середнього значення. Оберемо такі значення їхніх координат:

Імовірності розподілу на окремих ділянках визначатимемо за умови, що всі вони однакові й дорівнюють . Тоді легко знайти відповідні значення щільності розподілу на кожній із п’яти ділянок:

Вид розподілу подано на рис. 3.9.

Інтервально-рівномірний закон розподілу  частки на ринку

Рис. 3.9.Інтервально-рівномірний закон розподілу частки на ринку (другий варіант)

Отже, для другого варіанта частка підприємства на ринку характеризується значним ступенем невизначеності й зумовленого цим ризику. Випадкова величина цієї частки нерівномірно розподілена в діапазоні від 0,035 до 0,165.

Для третього варіанта відомо, що кількість граничних точок n дорівнює шести (діапазон складається з п’яти ділянок). Середнє значення (математичне сподівання) цієї випадкової величини нехай, як і в попередніх варіантах, становить 0,1. Граничні точки розташовані асиметрично відносно математичного сподівання. Відомі такі значення їхніх координат:

Щільності розподілу на кожній із п’яти ділянок становлять відповідно:

Дані щодо цих трьох варіантів стосовно частки підприємства на ринку можна подати таблицею (табл. 3.2).

Таблиця 3.2

Параметри частково-рівномірних розподілів

Номер варіанта

Кількість точок

Координати точок (межі ділянок)

1

2

3

4

5

6

1

2

0,099

0,101

2

6

0,035

0,075

0,095

0,105

0,125

0,165

3

6

0,035

0,075

0,095

0,105

0,155

0,255

Результати моделювання подані в таблиці 3.3.

Таблиця 3.3

Результати моделювання

Номер варіанта

mprof

?prof

Gprof

1

164,6

27,2

129,8

2

165,2

90,8

49,0

3

205,1

150,9

11,9

Аналіз даних табл. 3.3 показує, що зі збільшенням невизначеності та зумовленого цим ступеня ризику щодо частки підприємства на ринку гарантований прибуток зменшується через більший розкид (варіацію) випадкової величини прибутку.

Якщо відсутня додаткова інформація, то кращим є перший варіант. Можливі й інші стратегії прийняття рішення в умовах ризику.