Розділи

загрузка...
3.4. Моделювання випадкових величин як системотвірна імітаційного процесу моделювання; Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

3.4. Моделювання випадкових величин як системотвірна імітаційного процесу моделювання

Алгоритмічне (імітаційне) моделювання — це числовий метод дослідження систем і процесів за допомогою моделюючого алгоритму.

Кожного разу, коли на хід модельованого процесу впливає випадковий чинник, його вплив імітується за допомогою спеціально організованого розіграшу (жеребкування). Таким способом будується випадкова реалізація модельованого явища, яка є одним із результатів дослідження. За результатами окремого досліду, звичайно, не можна робити висновок щодо закономірностей досліджуваного процесу. Але за великої кількості реалізацій середні характеристики (математичне сподівання, мода, медіана), що їх виробляє (генерує) модель, набувають стійких властивостей, котрі посилюються зі зростанням кількості реалізацій (прогонів). Звісно, залишається певний ризик, який характеризується тим, що модель є гомогенною, існує неповнота даних тощо.

Кидання жеребка можна здійснити вручну (вибором із таблиці випадкових чисел), але зручніше це робити за допомогою спеціальних програм, що входять до складу програмного забезпечення комп’ютера. Такі програми називають датчиками чи генераторами випадкових чисел.

У складі трансляторів майже всіх алгоритмічних мов є стандартні процедури (чи функції), котрі генерують випадкові (точніше, псевдовипадкові) числа, що є реалізаціями послідовності випадкових чисел із рівномірним законом розподілу.

Наприклад, у складі транслятора мови Visual Basic — стандартна функція RND, що видає випадкові дійсні числа одинарної точності в інтервалі (0; 1). Звернення до цієї функції може мати вигляд x = RND, де x — можливе значення (реалізація) випадкової величини, яка рівномірно розподілена на інтервалі (0; 1).

Моделювання випадкових подій

1. Моделювання простої події

Нехай має місце подія А, імовірність настання котрої дорівнює Р(А). Потрібно обрати правило, у багаторазовому використанні якого частота появи події прямувала б до її ймовірності. Оберемо за допомогою датчика випадкових чисел, що мають рівномірний закон розподілу на інтервалі (0;1), деяке число x і визначимо ймовірність того, що x < Р(А). Для випадкового числа x, котре є реалізацією випадкової величини з рівномірним законом розподілу на інтервалі (0; 1), справедливою буде така залежність:

Отже, імовірність потрапляння випадкової величини в інтервал (0; Р(А)) дорівнює величині Р(А). Тому, якщо під час розіграшу число потрапило в цей інтервал, то слід вважати, що відбулася подія А. Протилежна подія () відбудеться з імовірністю (1 – Р(А)) у тому разі, коли x ? Р(А).

Процедура моделювання простої події в імітаційній моделі описується алгоритмом, схема якого подана на рис. 3.2. (ДВЧ(x) — датчик випадкових чисел x, що відповідають рівномірному закону розподілу на інтервалі (0; 1).)

Моделювання простої події

Рис. 3.2. Моделювання простої події

Оператор 1 звертається до датчика випадкових чисел, який генерує випадкове число x.

Оператор 2 здійснює перевірку умови x < Р(А). Якщо вона виконується, вважається, що відбулася подія А. У протилежному випадку вважається, що відбулася протилежна подія (А).

2. Моделювання повної групи несумісних подій

Нехай наявна повна група випадкових несумісних подій (ПГНП) А1, А2, …, Аk з імовірностями p1, p2, …, pk. При цьому виконується умова:

Поділимо інтервал (0; 1) на k відрізків, довжини яких відповідно дорівнюють p1, p2, …, pk.

Моделювання повної групи несумісних подій

Рис. 3.3. Моделювання повної групи несумісних подій

Якщо випадкова величина x, яка генерується датчиком випадкових чисел, що відповідають рівномірному закону розподілу на інтервалі (0; 1), припадає, наприклад, на відрізок pk–1, то це повинно означати, що відбулася подія Аk–1.

Справді, якщо позначити то виявиться справедливим вираз

Процедура моделювання повної групи несумісних подій описується алгоритмом, схема якого наведена на рис. 3.4.

 Схема алгоритму моделювання  повної групи несумісних подій

Рис. 3.4. Схема алгоритму моделювання повної групи несумісних подій

Оператор 1 звертається до генератора випадкових чисел, що відповідають рівномірному закону розподілу на інтервалі (0; 1). Оператор 2 перевіряє умову потрапляння випадкової величини x в інтервал (0; L1). Якщо ця умова виконується, то вважається, що відбулася подія А1. Якщо ця умова не виконується, то алгоритм передбачає перевірку умов потрапляння випадкової величини в інші інтервали.

3. Моделювання дискретної випадкової величини

Розподіл дискретної випадкової величини може бути поданий у вигляді таблиці

xi

x1

x2

xn

pi

p1

p2

pn

Тут pj — імовірність того, що випадкова величина х набуває значення хj, j = 1, …, n.

Накладається також умова:

. (3.8)

Поділимо інтервал (0; 1) на n відрізків, довжини котрих дорівнюють заданим імовірностям. Якщо випадкове число x, що формується генератором випадкових чисел, котрі відповідають рівномірному закону розподілу на інтервалі (0; 1), потрапляє до інтервалу pk, то випадкова величина х набуває значення хk. Отже, під час моделювання дискретної випадкової величини фактично використовується та сама процедура, що й за моделювання повної групи несумісних подій.

4. Моделювання випадкових величин з рівномірним розподілом

Генератор випадкових чисел генерує послідовність реалізацій випадкової величини x з рівномірною функцією розподілу на інтервалі (0; 1). Здебільшого треба моделювати випадкові величини з рівномірним розподілом, які набувають значення в інтервалі (ab).

Припустимо, що

звідси

На практиці використовується дещо модифікований спосіб. Замість меж інтервалу задаються: середнє значення випадкової величини m(?) і величина (довжина) інтервалу Dx, у межах якої може набувати свої значення ця випадкова величина (з рівномірним законом розподілу). Визначення можливого значення (реалізації) випадкової величини з рівномірним розподілом можна здійснити згідно з виразом:

5. Моделювання випадкових величин з нормальним законом розподілу

Згідно з центральною граничною теоремою теорії ймовірностей унаслідок додавання досить великої кількості однаково розподілених незалежних випадкових величин отримуємо випадкову величину, яка має нормальний закон розподілу.

Як показали дослідження, вже внаслідок складання більш ніж десяти випадкових незалежних величин з рівномірним розподілом в інтервалі (0; 1) отримуємо випадкову величину, котру з точністю, достатньою для більшості практичних задач, можна вважати розподіленою згідно з нормальним законом.

Процедура розіграшу нормально розподіленої випадкової величини полягає у такому:

А. Складаємо, наприклад, 12 незалежних випадкових величин, які мають рівномірний закон розподілу та які набувають значення в інтервалі (0; 1), тобто:

Використовуючи відомі теореми про математичне сподівання суми незалежних випадкових величин з однаковим законом розподілу та дисперсію цієї суми, легко обчислити для випадкової величини v математичне сподівання m(v) та дисперсію D(v):

Б.Нормуємо та центруємо випадкову величину v, тобто перейдемо до випадкової величини ?, яка має нульове математичне сподівання та середньоквадратичне відхилення ?(?) = 1.

Від нормованої та центрованої випадкової величини ? можна перейти до випадкової величини у із заданими параметрами т(у) і ?(у) згідно з таким виразом:

.