Розділи

загрузка...
3.2. Теоретичні основи методу статистичного моделювання; Моделювання економіки - Вітлінський В.В.

3.2. Теоретичні основи методу статистичного моделювання

Метод статистичного моделювання (чи метод Монте-Карло) — це спосіб дослідження невизначених (стохастичних) економічних об’єктів і процесів, коли не повністю (до певної міри) відомими є внутрішні взаємодії в цих системах.

Цей метод полягає у модельному відтворенні процесу за допомогою стохастичної математичної моделі та обчисленні характеристик цього процесу. Одне таке відтворення можливого (випадкового) стану функціонування модельованої системи називають реалізацією (чи імітаційним прогоном; далі — прогоном).

Після кожного прогону реєструють сукупність параметрів, що характеризують випадкову подію (її реалізацію). Метод ґрунтується на багатократних прогонах (випадкових реалізаціях) на підставі побудованої моделі з подальшим статистичним опрацюванням отриманих даних з метою визначення числових характеристик досліджуваного об’єкта (процесу) у вигляді статистичних оцінок його параметрів. Процес моделювання економічної системи зводиться до машинної імітації досліджуваного процесу, котрий моделюється на ЕОМ з усіма суттєвими невизначеностями, випадковостями і породженим ними ризиком. Імітаційне моделювання нерідко має назву симулятивного моделювання. Перші відомості про метод Монте-Карло були опубліковані в кінці 40-х рр. ХХ століття. Авторами методу є американські математики — економісти Дж. Нейман і С. Улам.

Теоретичною основою методу статистичного моделювання є закон великих чисел. У теорії ймовірностей закон великих чисел ґрунтується на доведенні низки теорем для різних умов збіжності за ймовірністю середніх значень результатів (на підставі великої кількості спостережень) до деяких величин.

Під законом великих чисел розуміють кілька теорем. Наприклад, одна з теорем П. Л. Чебишева формулюється таким чином: «За необмеженого збільшення кількості незалежних випробувань (n) середнє арифметичне вільних від систематичних помилок і рівноточних результатів спостережень xi випадкової величини x, яка має скінченну дисперсію D(x), збігається за ймовірністю до математичного сподівання mx = M(x) цієї випадкової величини».

Це можна записати так:

(3.1)

де e — як завгодно мале додатне число.

Теорема Бернуллі формулюється так: «За необмеженого збільшення числа незалежних спроб (п) за одних і тих самих умов відносна частота настання випадкової події збігається за ймовірністю до р, тобто:

(3.2)

де e — як завгодно мале додатне число».

Згідно з цією теоремою для отримання ймовірності певної події, наприклад імовірності станів деякої системи, обчислюють відносні частоти для кількості реалізацій, що дорівнює n. Результати усереднюють і з деяким наближенням одержують шукані ймовірності станів системи. Чим більшим буде n, тим точнішим буде результат обчислення цих імовірностей. Це легко довести.

Припустимо, що треба відшукати значення математичного сподівання m для певної випадкової величини. Підберемо таку випадкову величину x, щоб

M(x) = m, а D(x) = b2 ,

де b2 — довільне значення дисперсії випадкової величини x.

Розгляньмо послідовність n незалежних випадкових величин , розподіл імовірностей яких збігається з розподілом x. Якщо n є досить великим, то згідно з центральною граничною теоремою розподіл суми

буде приблизно нормальним розподілом з параметрами a = n • m; s2 = n • b2.

З правила «трьох сигм» випливає, що

(3.3)

Розділивши нерівність, що розташована у фігурних дужках, на n, oтримаємо еквівалентну нерівність з тією самою ймовірністю:

Це співвідношення можна записати у вигляді:

(3.4)

Співвідношення (3.4) визначає метод обчислення середнього значення m і оцінку похибки. З (3.4) видно, що середнє арифметичне реалізацій випадкової величини x наближено дорівнюватиме числу m. З імовірністю р = 0,997 похибка такого наближення не перевищує . Очевидно, що ця похибка прямує до нуля зі зростанням n, що й потрібно було довести.

Розв’язування задач методом статистичного моделювання полягає в такому:

Зазначимо, що будь-які твердження стосовно до характеристик модельованої системи повинні ґрунтуватися на результатах відповідних перевірок за допомогою методів математичної статистики.

Оскільки випадкові події й випадкові функції можуть подаватися з використанням випадкових величин, то й моделювання випадкових подій і випадкових функцій проводиться за допомогою випадкових величин.